все правила деления дробей, примеры c решениями, советы экспертов, как подготовиться к контрольной работе по этой теме

Под делением понимают операцию, в которой есть делимое и делитель. Причем делимое – это то, что делят, а делитель – это число, на которое делят. Понятно, что делимое всегда записывают первым, а делитель – вторым числом. В случае с обыкновенными дробями деление означает умножение на число, обратное делителю. Более подробно об это рассказывается на наглядных примерах.

Полезная информация о делении дробей

Напомним, что обыкновенной называют дробь вида a/b (можно записать и в виде ^a/_b, что одно и то же), где a и b являются натуральными числами. Примеры: 2/3, 5/8, 7/3 и тому подобное. Чтобы разобраться в делении дробей, нужно вспомнить основные понятия, описанные в таблице.

Деление обыкновенных дробей

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, необходимо умножить делимое на число, которое обратно делителю. Если сказать более простым языком, действовать нужно так:

1. Записать делимое (первую дробь) без изменений.
2. Перевернуть делитель (то есть записать обратное число).
3. Умножить делимое на обратное делителю число и получить результат.

Примеры

Описанное правило легко понять на наглядных примерах. Например, требуется разделить 3/5 на 9/10. Тогда, действуя по описанному алгоритму, получим:

1. Делимое (первую дробь) записываем без изменений: 3/5.
2. Делитель (вторую дробь) переворачиваем, то есть меняем числитель и знаменатель местами. Записываем 10/9.
3. Теперь умножаем делимое на делитель и после взаимного сокращения получаем:

\(\frac35\div\frac9{10}=\frac35\cdot\frac{10}9=\frac23.\)

В данном случае обе дроби удачно сократились. Но так бывает не всегда. Рассмотрим другой пример: 7/8 разделить на 3/5. Последовательность действий аналогичная:

1. Делимое записываем без изменений: 7/8.
2. Делитель переворачиваем, чтобы получить обратное число: 5/3.
3. Умножаем делимое на делитель и получаем:

\(\frac78\div\frac35=\;\frac78\cdot\frac53=\;\frac{35}{24}.\)

Выделив целую часть, получим итоговый ответ в виде смешанного числа 1¹¹/₂₄.

Деление дроби на натуральное число

Любую обыкновенную дробь можно разделить и на натуральное число. Алгоритм следующий:

1. Делимое записать без изменений.
2. Делитель (натуральное число) представить в виде дроби, например, 7 – это 7/1.
3. Умножить делимое на число, обратное делителю (то есть записанное в перевернутом виде). В данном случае 7/1 превратится в 1/7.

Примеры

В качестве примера рассмотрим деление 2/3 на 3:

1. Делимое оставляем без изменений: 2/3.
2. Делитель (натуральное число) представляем в виде дроби 3/1.
3. Умножаем делимое на число, обратное делителю, то есть на 1/3.
   В результате получится такая запись:

\(\frac23\div3=\frac23\div\frac31=\;\frac23\cdot\frac13=\;\frac29.\)

Натренировавшись, дальнейшие действия можно упростить, то есть представить натуральное число в виде дроби (3/1) в уме и сразу перенести его в знаменатель (1/3). Тогда запись получится короче:

\(\frac23\div3\;=\frac23\cdot\frac13=\frac29.\)

Можно рассмотреть и другой пример: разделить 5/3 на 5.

1. Делимое записываем без изменений: 5/3.
2. Делитель выносим в знаменатель: 1/5.
3. Умножаем делимое на делитель и после сокращения получим:

\(\frac53\div5\;=\frac53\cdot\frac15=\frac13.\)

Деление натурального числа на дробь

Можно выполнить и обратное действие – разделить натуральное число на обыкновенную дробь. Инструкция следующая:

1. Делимое (натуральное число) представить в виде дроби, например 4 в виде 4/1.
2. Делитель (обыкновенную дробь) записать в виде обратного числа, то есть перевернуть числитель и знаменатель.
3. Умножить делимое на делитель.

Примеры

В качестве примера можно рассмотреть деление 3 на 3/5:

1. Делимое записываем в виде дроби, то есть 3/1.
2. Вместо делителя записываем обратное число – 5/3.
3. Умножаем делимое на обратное делителю число, после сокращений получаем:

\(3\div\frac35=\frac31\div\frac35=\frac51=5.\)

Понятно, что первое действие можно выполнить в уме, то есть не писать 3/1, а сразу унести натуральное число 3 в числитель. Тогда получится упрощенный вариант:

\(3\div\frac35=\frac{3\cdot5}3=5.\)

Можно изучить и другое задание: разделить 7 на 5/6:

1. Натуральное число (делимое) записываем в виде дроби 7/1.
2. Делитель записываем в виде обратного числа, то есть меняем местами числитель и знаменатель: 6/5.
3. Умножаем первое число на второе и выделяем целую часть:

\(7\div\frac56=\frac71\cdot\frac65=\frac{42}5=8\frac25.\)

Деление дроби на смешанное число

Наряду с натуральными есть и смешанные числа. Они состоят из целой и дробной части, например: 3¹/₄.

Дробь можно разделить на любое смешанное число, действуя по такому алгоритму:

1. Делимое записывать без изменений.
2. Делитель (смешанное число) записать в виде обыкновенной дроби. Для этого ее знаменатель умножают на целое число и прибавляют к числителю.
3. Умножить делимое на число, обратное делителю (поменять местами числитель и знаменатель).

Примеры

В качестве примера можно рассмотреть деление 6/7 на 3¹/₃.

1. Делимое записываем без изменений: 6/7.
2. Делитель запишем в виде обыкновенной дроби. Для этого знаменатель умножим на целую часть (3 · 3 = 9) и прибавим 1 (9 + 1 = 10). Запишем это значение в числитель, оставляя знаменатель прежним: 10/3.
3. Умножим делитель на число, обратное делителю (3/10). После сокращений получим:

\(\frac67\div3\frac13=\frac67\div\frac{10}3=\frac{6\cdot3}{7\cdot10}=\frac{18}{70}=\frac9{35}.\)

Как видно, ничего сложного нет – достаточно лишь превратить смешанное число в обыкновенную (неправильную) дробь. Еще один пример: разделить 3/4 на 5²/₃:

1. Делимое оставляем без изменений: 3/4.
2. Делитель (смешанное число) превращаем в обыкновенную дробь: 5²/₃ = (3*5+2)/3 = 17/3.
3. Теперь умножаем делимое на число, обратное делителю (меняем местами числитель и знаменатель – вместо 17/3 записываем 3/17):

\(\frac34\div5\frac23=\frac34\div\frac{17}3=\frac{3\cdot3}{4\cdot17}=\frac9{68}.\)

Советы экспертов, как подготовиться к контрольной работе по делению дробей

Дарья Дейген, эксперт ЕГЭ по математике, основатель и руководитель образовательного центра RedCat.School, руководитель центра дистанционного обучения Университетской гимназии МГУ, заместитель начальника управления делами и делопроизводства МГУ:

В 5 классе ребята на уроках математики изучают обыкновенные дроби. Учатся их складывать, вычитать, умножать и делить. Традиционно наибольшее количество трудностей вызывает тема деления. И правил там побольше, и операции надо выполнять в обратную сторону, что усложняет процесс. Но не все так страшно, как может показаться после первого урока по теме «Деление обыкновенных дробей».

Чтобы подготовиться к контрольной, важно научиться выполнять несколько типов заданий:

• деление обыкновенных дробей друг на друга;
• деление натурального числа на обыкновенную дробь и наоборот;
• деление обыкновенной дроби на смешанное число и наоборот.

Принцип везде одинаковый – делимое (первое число) умножают на дробь, обратную делителю (числитель и знаменатель меняют местами). В заданиях первого типа сделать это проще всего – достаточно умножить делимое на перевернутый делитель.

\(Пример:\;\frac34\div\frac38=\frac34\cdot\frac83=2.\)

В заданиях второго типа натуральное число представляют в виде дроби и действуют точно так же.

\(Пример:\;\frac67\div6=\frac67\cdot\frac16=\frac17.\)

В заданиях третьего типа смешанное число представляют в виде неправильной дроби и выполняют те же действия.

\(Пример:\;\frac35\div1\frac25=\frac35\div\frac75=\frac37.\)

Популярные вопросы и ответы

Отвечает Дарья Дейген:

Проверьте ваши знания

1. Разложение числа на простые множители
2. Многозначные числа
3. Порядок действий в математике
4. Смешанные числа
5. Деление в столбик